Modeling and Solving Constraints - Erin Catto

https://box2d.org/

Modeling and Solving Constraints

* Executive Summary
- Constraints는 joints, contact, and collision을 재현하기 위해 사용된다.
- 우리는 박스들을 쌓고, ragdoll 사지들을 붙여놓기 위해 constraints를 해결할 필요가 있다.
- Constraint solvers는 impulse or forces를 계산하고 그것들을 그 constrained bodies에 적용하여 이것을 한다.

* Overview
- Constraint Formulas
- Deriving Constraints : Joints, Motors, Contact
- Constraint Solver 구성하기

* Constraint Types
- Contact and Friction
- Ragdolls
- Particles and Cloth

* Motivation
-

* Velocity
- normal vector는 curve에 수직이다.
- 그래서 이 내적은 zero 이다.

* Velocity Constraint
- Position Constraint : C(x) = 0
만약 C가 zero라면, 그러면 그것의 시간 미분은 0이여야 한다
Velocity Constraint : dot(C) = 0
- Velocity constraints는 허용된 motion을 정의한다.
- Velocity constraints는 impulses를 적용하여 만족될 수 있다.
- 나중에 더

* Jacobian
- 연쇄 법칙으로 인해, 그 velocity constraint는 특별한 구조를 갖는다:



J는 jacobian이다.

- 그 Jacobian은 그 속도에 수직이다.

* Velocity Map
V(Cartesian Space Velocity) -> J -> Dot(C) (Constraint Space Velocity)

* Constraint Force
- wire가 frictionless하다고 가정.
그 wire와 bead사이의 force는 무엇인가?

* Lagrange Multiplier
- 직과넞ㄱ으로 constraint force F_c는 그 normal vector에 평행하다.
- Direction이 알려져있고, 크기는 미지수이다.
- 즉 그것은 
- Lambda는 constraint force의 양의 크기이다.
- 우리는 어떻게 labmda를 계산하는가?
- 그것이 solver의 일이다.
- Solvers는 나중에 이야기 된다.

* Force Map
- ƛ(Constraint Space Force) -> J^T -> F_c(Cartesian Space Force)

* Work, Energy, and Power
- Work = Force * Distance
- Work는 단위 에너지를 갖는다 (Joules)
- Power = Force * Velocity (Watts)

* Principle of Virtual Work
- Constraint forces는 작동하지 않는다. 그래서 그것들은 허용된 velocity에 수직이여야 한다.
- Assertion : 
- Proof: 
- 그래서 그 constraint force는 energy는 영향을 미치지 않는다.