chan blog: OpenGL ProjectionMatrix (songho ahn) 번역

http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html

OpenGL Projection Matrix

Overview
컴퓨터 모니터는 2D 표면이다. OpenGL에 의해 렌더링되는 3D scene은 한 개의 2D image로서 컴퓨터 스크린에 사영되어야 한다. GL_PROJECTION matrix은 이 projection transformation을 위해 사용된다. 첫 번째, 그것은 모든 vertex data를 eye coordinate에서 clip coordinates로 변환한다. 그러고나서, 이러한 clip coordinates는 또한 clip coordinates의 w component로 나누어서 normalized device coordinates (NDC)로 변환된다.

그러므로, 우리는 두 clipping (frustum culling)과 NDC 변환이 GL_PROJECTION 행렬에 통합되도록 하는 것을 명심해야만 한다. 다음의 섹션은 6개의 파라미터들로 어떻게 그 projection matrix를 구성하는지를 설명한다 : left, right, bottom, top, near and far boundary values.

frustum culling (clipping)은 clip coordinates에서 수행된다, w_c로 나눠지기전에. 그 clip coordinates, x_c, y_c, z_c는 w_c와 비교되어서 테스트된다. 만약 어떤 clip coordinate가 -w_c보다 더 작다면, 또는 w_c보다 더 크다면, 그러고나서 그 정점은 버려질 것이다.

$-w_c < x_c, y_c, z_c < w_c$

그러고나서, OpenGL은 clipping이 발생하는 polygon의 edges를 재구성할것이다.

Perspective Projection
원근 사영에서, 한 잘려진 pyramid frustum (eye coordinate)에서 한 3D point는 cube (NDC)로 매핑된다; x 좌표의 범위가 [l, r]에서 [-1, 1]가 되고, y 좌표 범위가 [b, t]에서 [-1, 1]로, z 좌표 범위가 [-n, -f]에서 [-1, 1] 이다.

eye coordinates가 오른손 좌표계로 정의되어 있는 것에 주의해라, 그러나 NDC는 왼손좌표계를 사용한다. 즉, 원점에 있는 카메라는 eye space에서 -Z축을 따라 보고있지만, 그것은 NDC에서 +Z축을 따라 보고있다.

glFrustum()은 오직 near and far 거리의 양수 값을 받아들이기 때문에, 우리는 GL_PROJECTION 행렬을 구성하는 동안 그것을 음수화 할 필요가 있다. OpenGL에서, eye space에 있는 한 3D 점은 near plane (projection plane)으로 사영된다. 그 다음의 그림은 eye space에 있는 한 점 (x_e y_e, z_e)가 near plane위의 (x_p, y_p, z_p)로 어떻게 사영되는지를 보여준다.

frustum의 top view로부터, eye space의 x좌표인 x_e는 x_p에 매핑되는데, 유사한 삼각형의 비율을 사용하여 계산된다;

$\frac{x_p}{x_e} = \frac{-n}{z_e}$
$x_p = \frac{-n \cdot x_e}{z_e} = \frac{n \cdot x_e}{-z_e}$
{
Top View of Frustum에서, 삼각형 밑변들의 길이 (X축), 그리고 옆면들의 길이(Z축)의 비율을 통해서 x_p를 구한 것이다.
}

frustum의 side view로부터, y_p는 유사한 방식으로 또한 계산된다.
$\frac{y_p}{y_e} = \frac{-n}{z_e}$
$y_p = \frac{-n \cdot y_e}{z_e} = \frac{n \cdot y_e}{-z_e}$

x_p와 y_p 둘 다 z_e에 의존한다는 것에 즤목해라; 그것들은 -z_e에 역으로 비례한다. 다시 말해서, 그것들은 둘 다 -z_e로 나눠진다. 그것은 GL_PROJECTION 행렬을 구성하는 첫 번째 단서이다. eye 좌표들이 GL_PROJECTION 행렬을 곱한 후에 변환된 후에, 그 CLIP 좌표들은 여전히 동차 좌표계이다. 그것은 마침내 clip 좌표의 w 컴포넌트로 나눠져서 NDC가 된다 (see more details on OpenGL Transformation)
$\begin{pmatrix} x_{clip}\\ y_{clip}\\ z_{clip}\\ w_{clip} \end{pmatrix} = M_{projection} \cdot \begin{pmatrix} x_{eye}\\ y_{eye}\\ z_{eye}\\ w_{eye} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x_{ndc}\\ y_{ndc}\\ z_{ndc} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{clip} / w_{clip}\\ y_{clip} / w_{clip}\\ z_{clip} / w_{clip} \end{pmatrix}$

그러므로, 우리는 clip coordinates의 w 컴포넌트를 -z_e로 설정할 수 있다. 그래서, GL_PROJECTION 행렬의 4번째 행이 (0, 0, -1, 0)이 된다.

$\begin{pmatrix} x_c\\ y_c\\ z_c\\ w_c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot &\cdot \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_e\\ y_e\\ z_e\\ w_e \end{pmatrix}$

$\therefore w_c = -z_e$

다음으로, 우리는 x_p와 y_p를 선형 관계로 NDC의 x_n과 y_n으로 매핑한다; 즉, [l, r] => [-1. 1] and [b, t] => [-1. 1]

$x_n = \frac{1 - (-1)}{r - l} \cdot x_p + \beta$
$1 = \frac{2r}{r - l} + \beta \;\; (substitute \;\; (r,1) \;\; for \;\; (x_p, x_n))$
$\beta = -\frac{r + l}{r - l}$
$\therefore x_n = \frac{2x_p}{r - l} - \frac{r + l}{r - l}$
$\therefore y_n = \frac{2y_p}{t - b} - \frac{t + b}{t - b}$

그러고나서, 우리는 x_p와 y_p를 위의 식에 대입한다
$x_n = \frac{2x_p}{r - l} - \frac{r + l}{ r - l} \\ = \frac{2 \cdot \frac{n \cdot x_e}{-z_e}}{r - l} - \frac{r + l}{ r - l} \\ = \frac{2n \cdot x_e}{(r-l)(-z_e)} - \frac{r + l}{ r - l} \\ = \frac{\frac{2n}{r-l} \cdot x_e}{-z_e} - \frac{r + l}{ r - l} \\ = \frac{\frac{2n}{r-l} \cdot x_e}{-z_e} + \frac{\frac{r + l}{ r - l} \cdot z_e}{-z_e} \\ = (\frac{2n}{r-l} \cdot x_e + \frac{r + l}{ r - l} \cdot z_e) / -z_e$
{ x_c }
$y_n = (\frac{2n}{t-b} \cdot y_e + \frac{t + b}{ t - b} \cdot z_e) / -z_e$
{ y_c }

우리가 각 방정식의 두 항을 perspective division (x_c/w_c, y_c/w_c)를 위해 -z_E로 나눌 수 있게 만들었다는 것을 주목해라. 그리고 우리는 w_c를 -z_e로 미리 설정했고, 괄호 안의 항이 clip 좌표의 x_c와 y_c가 된다.

이러한 방정식으로부터 우리는 GL_PROJECTION 행렬의 첫 번째와 두 번째 행을 찾을 수 있다
$\begin{pmatrix} x_c\\ y_c\\ z_c\\ w_c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2n}{r - l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0 \\ 0 & \frac{2n}{t - b} & \frac{t + b}{t-b} & 0 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_e\\ y_e\\ z_e\\ w_e \end{pmatrix}$

이제 우리는 오직 GL_PROJECTION 행렬에서 풀어야 할 3번째 행만을 가진다. z_n을 찾는 것은 다른 것들과 조금 다르다. 왜냐하면 eye space에서 z_e는 항상 near plane에서 -n에 사영되기 때문이다. 그러나 우리는 clipping과 depth test를 위해서 unique z value가 필요하다. 게다가, 우리는 그것을 unproject (inverse transform)할 수 있어야 한다. 우리가 z는 x또는 y값에 의존하지 않는다는 것을 알기 때문에, 우리는 z_n과 z_e사이의 관계를 찾기 위해 w component를 빌린다. 그러므로, 우리는 GL_PROJECTION 행렬의 세 번째 행을 이렇게 정의할 수 있다.

$\begin{pmatrix} x_c\\ y_c\\ z_c\\ w_c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2n}{r - l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0 \\ 0 & \frac{2n}{t - b} & \frac{t + b}{t-b} & 0 \\ 0 & 0 & A & B \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_e\\ y_e\\ z_e\\ w_e \end{pmatrix} , z_n = z_c/w_c = \frac{Az_e + Bw_e}{-z_e}$

eye space에서 w_e는 1이다. 그러므로, 그 방정식은 다음이 된다:

$z_n = \frac{Az_e + B}{-z_e}$

그 계수들 A와 B를 찾기 위해, 우리는 (z_e, z_n) 관계를 사용한다; (-n, -1)과 (-f, 1). 그리고 그것들을 위의 방정식에 넣는다.

$\left\{\begin{matrix} \frac{-An + B}{n} = -1 \\ \frac{-Af+B}{f} = 1 \end{matrix}\right. \rightarrow \left\{\begin{matrix} -An + B = -n \\ -Af + B = f \end{matrix}\right.$

A와 B에 대해 방정식을 풀기 위해, 첫 번째 방정식을 B에 대해 쓴다;

$B = An - n$

그리고 그 방정식을 두 번쨰 방정식에 대입하고 A에 대해서 풀어라

$-Af + (An - n) = f$
$-(f - n)A = f + n$
$A = - \frac{f + n}{f - n}$

B를 찾기 위해 A를 첫 번째 방정식에 넣어라
$(\frac{f+n}{f-n})n + B = -n$
$B = -n - (\frac{f+n}{f-n})n = -(1 + \frac{f+n}{f-n})n = - (\frac{f-n+f+n}{f-n}) = -\frac{2fn}{f -n}$

우리는 A와 B를 찾았다. 그러므로, z_e와 z_n사이의 관계는 다음이 된다;
$z_n = \frac{-\frac{f+n}{f-n}z_e - \frac{2fn}{f-n}}{-z_e}$

마침내, 우리는 GL_PROJECTION 행렬의 모든 성분들을 찾았다. 그 완전한 사영행렬은;
$\begin{pmatrix} \frac{2n}{r - l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0 \\ 0 & \frac{2n}{t - b} & \frac{t + b}{t-b} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-(f+n)}{f-n} & \frac{-2fn}{f - n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

이 사영행렬은 일반 frustum을 위한 것이다. 만약 그 viewing volume이 대칭이라면, 즉, 그것이 r = -l 그리고 t = -b라면, 그러면 그것은 다음으로 간단하게 될 수 있다.

$\left\{\begin{matrix} r+l = 0\\ r - l = 2r & (width) \end{matrix}\right , \left\{\begin{matrix} t + b = 0\\ t - b = 2t & (height) \end{matrix}\right.$

$\begin{pmatrix} \frac{n}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{n}{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-(f+n)}{f-n} & \frac{-2fn}{f - n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

우리가 이동하기 전에, z_e와 z_e사이의 관계식을 다시 한 번 보자. 너는 그것이 유리 함수이고, z_e와 z_n사이의 비선형 관계라는 것을 보게된다. 그것은 near plane에서 high precision이 있다는 것을 의미하지만, far plane에서 little precision이 있다는 것을 의미한다. 만약 [-n, -f] 범위가 더 커진다면, 그것은 depth precision problem (z-fighting)을 발생시킨다; 즉 far plane 주변의 z_e의 작은 변화는 z_n 값에 영향을 미치지 않는다. n과 f 사이의 거리는 depth buffer precision problem을 가능한 최소화하기 위해 작아야 한다.

Orthographic Projection
GL_PROJECTION 행렬을 orthographic projection을 위해 구성하는 것은 perspective mode보다 더 간단하다.

eye space에 있는 모든 x_e, y_e, z_e 컴포넌트들 선형으로 NDC에 매핑된다. 우리는 그냥 rectangular volume을 cubew에 스케일링 할 필요가 있고, 그러고나서 그것을 원점으로 움직인다. 선형 관계를 사용하여 GL_PROJECTION의 원소들을 찾아보자.

$\therefore x_n = \frac{2x_e}{r-l} - \frac{r+l}{r-l}$
$\therefore y_n = \frac{2y_e}{t-b} - \frac{t+b}{t-b}$
$\therefore z_n = \frac{-2z_e}{f-n} - \frac{f+n}{f-n}$

w-component가 orthographic projection에 필요하지 않기 때문에, GL_PROJECTION 행렬의 4번째 행은 (0, 0, 0, 1)로 남는다. 그러므로, 완전한 orthographic projection을 위한 GL_PROJECTION 행렬은
$\begin{pmatrix} \frac{2}{r - l} & 0 & 0 & -\frac{r+l}{r-l} \\ 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & -\frac{t + b}{t-b} \\ 0 & 0 & \frac{-2}{f-n} & -\frac{f + n}{f - n} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

만약 viewing volume이 대칭이라면, 그것은 더욱 간략하게 될 수 있다; 즉 r = -l, and t = -b이라면.

$\left\{\begin{matrix} r+l = 0\\ r - l = 2r & (width) \end{matrix}\right , \left\{\begin{matrix} t + b = 0\\ t - b = 2t & (height) \end{matrix}\right.$
$\begin{pmatrix} \frac{1}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-2}{f-n} & -\frac{f + n}{f - n} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

-----------------------------------------------------------------
Perspective Projection을 위해 간단히 정리하자면,
Eye Space -> Near Plane 사영 (삼각형 비율 이용)
-> Clip Space -> -z_e(w_c)로 나누어서 NDC
그리고 Clip Space에서 -w_c < x_c, y_c, z_c < w_c를 이용해 culling이 일어난다.

fovy를 제대로 이해하기 위해, 또한 Window Coordinate(Screen Coordinates)와 Projection Matrix 번역
http://www.songho.ca/opengl/gl_transform.html#matrix

Window Coordinates (Screen Coordinates)
NDC를 viewport transformation에 적용하여 스크린 좌표가 만들어진다. NDC는 렌더링 스크리엔 맞게 들어가기 위해 스케일링되고 평행이동 된다. 그 윈도우 좌표는 마침내 한 fragment가 되기위해 OpenGL pipeline의 rasterization process로 넘겨진다. glViewport() 명령어는 마지막 이미지가 매핑되는 렌더링 지역의 사각형을 정의하는데 사용된다. 그리고 glDepthRange()는 윈도우 좌표의 z 값을 결정하기 위해 사용된다. 위의 2개의 함수의 주어진 파라미터들로 윈도우 좌표들이 계산된다;

glViewport(x, y, w, h);
glDepthRange(n, f);

$\begin{pmatrix} x_w\\ y_w\\ z_w \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{w}{2}x_{ndc} + (x + \frac{w}{2})\\ \frac{h}{2}y_{ndc} + (y + \frac{h}{2})\\ \frac{f - n}{2}z_{ndc} + (\frac{f + n}{2}) \end{pmatrix}$

그 viewport transform 공식은 간단히 NDC와 윈도우 좌표 사이의 선형 관계에 의해 얻어진다;

$\left\{\begin{matrix} -1 \rightarrow x\\ 1 \rightarrow x + w \end{matrix}\right , \left\{\begin{matrix} -1 \rightarrow y\\ 1 \rightarrow y + h \end{matrix}\right. , \left\{\begin{matrix} -1 \rightarrow n\\ 1 \rightarrow f \end{matrix}\right.$

Projection Matrix (GL_PROJECTION)
GL_PROJECTION 행렬은 frustum을 정의하기 위해 사용된다. 이 frustum은 어떤 오브제긑들 또는 어떤 오브젝트들의 부분들이 clipped out되어야 할 지를 결정한다. 또한, 그것은 3D scene이 screen에 어떻게 사영될지를 결정한다. (see more details how to construct projection matrix.)

OpenGL은 GL_PROJECTION transformation을 위해 두 개의 함수를 제공한다. glFrustum()은 perspective projection을 만들고, glOrtho()는 orthographic (parallel) projection을 만든다. 두 함수들은 6개의 clipping 평면을 명시하는 6개의 파라미터들을 요구한다; left, right, bottom, top, near and far planes. viewing frustum의 8개의 정점들은 다음의 이미지에서 보여질 수 있다.

far (back) plane의 정점들은 비슷한 삼각형의 비율로 계산될 수 있다, 예를들어 far plane의 왼쪽은;

$\frac{far}{near} = \frac{left_{far}}{left},\;\; left_{far} =\frac{far}{near} \cdot left$

orthographic projection에 대해, 이 비율은 1이 될 것이다. 그래서 far plane의 left, right, bottom and top values는 near plane과 같을 것이다.

너는 또한 gluPerspective()와 gluOrtho2D() 함수를 더 적은 파라미터들로 사용할지도 모른다. gluPerspective()는 오직 4개의 파라미터들을 요구한다; vertical field of view (FOV), the aspect ratio of width to height and the distances to near and far clipping planes. gluPerspective()에서 glFrustum()으로의 변환은 다음의 코드로 설명된다.

// This creates a symmetric frustum.
// It converts to 6 params (l, r, b, t, n, f) for glFrustum()
// from given 4 params (fovy, aspect, near, far)
void makeFrustum(double fovY, double aspectRatio, double front, double back)
{
    const double DEG2RAD = 3.14159265 / 180;

    double tangent = tan(fovY/2 * DEG2RAD); // tangent of half fovY
    double height = front * tangent;
    double width = height * aspectRatio;
    
    // params: left, right, bottom, top, near, far
    glFrustum(-width, width, -height, height, front, back);
}

그러나, 만약 너가 비대칭 viewing volume을 만들 필요가 있다면, 너는 직접적으로 glFrustum()을 사용해야만 한다. 예를들어, 만약 너가 한 wide scene을 두 개의 인접한 스크린에 렌더링하고 싶다면, 너는 그 frustum을 2개의 비대칭 frustums으로(왼쪽과 오른쪽으로) 분해할 수 있다. 그러고나서, 각 frustum으로 그 scene을 렌더링한다.

chan blog

Post Lists

2018년 11월 19일 월요일

OpenGL ProjectionMatrix (songho ahn) 번역

댓글 없음:

댓글 쓰기