여기에 질문했다. 아마 답변자가 erin catto이지 않나 싶다.
Cauchy identity와 Vector algebra relations에 대한 Wikepdia에 대한 레퍼런스를 주었고, 나는 그것을 통해 왜
Cross(r1, n))2 == Dot(r1, r1) - rn1 * rn1
인지를 알아내려고 한다. 여기에서 rn1 = dot(r1, n) 이 된다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Binet%E2%80%93Cauchy_identity
Binet-Cauchy identity
대수에서, Jacques Philippe Marie Binet과 Augustin-Louis Cauchy의 이름을 딴, Binet-Cauchy identity는 다음을 주장한다
실수 또는 복소수에 대한 모든 선택에 대해 (좀 더 일반적으로, commutative ring의 원소들), a_i = c_j와 b_j = d_j를 설정하여, 그것은 Lagrange's identity를 주는데, 그것은 Euclidean space R^n에 대해 Cauchy-Schwarz 부등식의 더 강력한 버전이다.
Contents
1. The Binet-Cauchy identity and exterior algebra
2 Einstein notation
3 Proof
4 Generalization
5 In-line notes and references
The Binet-Cauchy Identity and exterior algebra
n이 3일 때, 우변의 첫 번째와 두 번째 항은 각각 dot product와 cross product의 제곱 크기가 된다; n차원에서, 이러한 것들은 dot and wedge products의 크기가 된다. 우리는 그것을 다음으로 쓸지도 모른다
거기에서 a,b,c, and d는 벡터이다. 그것은 또한 두 개의 wedge products의 내적을 주는 공식으로서 쓰일지도 모른다, 다음처럼:
그리고 n이 3인 경우에 다음으로 쓰여질 수 있다:
a = c이고 b = d인 특수한 경우에, 그 공식은 다음을 만든다
a와 b가 단위 벡터인 경우에, 우리는 보통의 관계식을 얻는다
여기에서 ɸ는 두 벡터 사이의 각이다.
Einstein notation
Levi-Cevita symbols과 Generalized Kronecker delta사이의 관계는
그 Binet-Cauchy identity의 형태인
다음으로 쓰여질 수 있다
Proof
생략
Generalization
Cauchy-Binet formula라고 알려진 일반적인 형태는 다음을 주장한다: A가 mxn 행렬이고, B가 nxm 행렬이라고 가정하자. 만약 S가 m개의 원소를 가진 {1, ... n}의 부분집합이라고 한다면, 우리는 A_S를 mxm matrix에 대해 쓰는데, 그 행렬의 열들이 S의 인덱스를 가진 A의 columns이다. 유사하게, 우리는 mxm matrix에 대해 B_S를 쓰는데, 그 행렬의 rows는 S의 인덱스들을 가진 그러한 rows이다. 그러고나서 A와 B의 행렬 곱의 행렬식은 다음의 항등식을 만족한다
여기에서 그 sum은 m개의 원소를 가진 {1, ... ,n}의 모든 가능한 부분집합에 대해 확장한다.
우리는 다음을 설정하여 특별한 경우로서 original identity를 얻는다
================================================
wedge부터 시작하여 무슨말인지 모르겠다. 저기에서 시작해서, 그 식을 도출해내긴한다. 일단 위키피디아를 계속 따라가보자. 일단 둘러보니까 여러가지 항등식이 나오고, Binet-Cauchy identity부터, Lagrange's identity도 알아야 한다. 따라서, 그런것들이 Exterior algebra를 기반으로 시작하는 것 같다. 그렇기에, 답글에 있는 것을 나중에 공부하기로 하고, 먼저 Exterior algebra를 공부한다. 그리고나서, Vector algebra rerations 위키피디아를 공부하고, 각 identity에 대해 다시 공부하여서 이해하도록 하자.
https://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra
Exterior algebra
수학에서, vectors의 exterior product(외적) or wedge product는 넓이, 부피, 그것들의 더 높은 차원의 유사성에 대해 연구하기 위해 기하학에서 사용되는 algebraic construction이다. 두 벡터 u와 v의 외적은 u Λ v로 표기되는데, bivector(이중벡터)라고 불려지고, exterior square라고 불려지는 공간에 있다. 그 공간은 벡터의 원래 공간과는 구별되는 vector space이다. u Λ v의 크기는 변 u와 v를 가진 parallelogram(평행사변형)의 넓이로 해석될 수 있는데, 삼차원에서 그것은 또한 두 벡터의 cross product를 사용해서 연산될 수 있다. cross product처럼, exterior product는 anticommutative한데, 즉, 모든 벡터 u와 v에 대해 u Λ v = - (v Λ u)라는 것을 의미한다. 그러나, cross product와 다르게, 그 exterior product는 결합법칙이 성립한다. 한 bivector를 시각화하는 한 방법은 같은 평면에 놓여있는 평행사변형의 한 family로서 있는 것인데, 같은 넓이를 갖고, 같은 방향을 가진다, 시계 또는 반시계방향의 선택으로.
이러한 방식으로 간주될 때, 두 벡터의 exterior product는 2-blade라고 불려진다. 좀 더일반적으로 어떤 k개의 벡터들의 exterior product는 정의될 수 있고, 가끔씩 k-blade라고 불려진다. 그것은 k번째 exterior power로서 알려진 공간에 있다. 최종 k-blade의 크기는 k차원의 paralleltope(평행체)이다. 그것의 edges는 주어진 벡터들이다. 삼차원에서 벡터들의 scalar tripe product(스칼라 삼중적)의 크기가 그러한 벡터들에 의해 생성되는 parallelpiped의(평행사변형 6개로 이루어진 다면체) 부피를 주듯이.
Hermann Grassmann이후의 exterior algebra, 또는 Grassmann algebra는 그 product가 exterior product가 되는 algebriac system이다. exterior algebra는 algebraic setting을 제공하는데, 거기에서 기하학적 질문들을 해결한다. 예를들어, blades는 구체적인 기하학적 해석을 가지고, exterior algebra에 있는 오브젝트들은 모호하지 않은 규칙들의 한 집합에 따라서 조작되어질 수 있다. 그 exterior algebra는 k-blades 뿐만 아니라 k-blades의 합인 오브젝트들을 포함한다; 그러한 합은 k-vector라고 불려진다. k-blades는 그것들이 간단한 vectors들의 products이기 때문에, 그 algebra의 간단한 원소들이라고 불려진다. 어떤 k-vector의 rank는 그것이 합계가 되는 간단한 원소들의 가장 작은 숫자로 정의된다. exterior product는 full exterior algebra로 확장되는데, 그 algebra의 어떤 두 원소들을 곱하도록 하기 위해서이다. 이 product를 갖춘 채, 그 exterior algebra는 associative algebra가 되는데, 즉, 어떤 원소 alpha, beta, gamma에대해 alpha Λ (beta Λ gamma) = (alpha Λ beta) Λ gamma라는 것을 의미한다. k-vectors는 degree k를 갖는데, 이것은 그것들이 k개의 벡터들의 products의 sums이라는 것을 의미한다. 다른 degrees의 elements가 곱해질 때, 그 degrees는 polynomials의 곱처럼 더해진다. 이것은 exterior algebra가 graded algebra라는 것을 의미한다.
exterior algebra의 정의는 기하학적 벡터가 아닌 vector fields 또는 functions같은 다른 벡터같은 오브젝트들에 대한 공간에 대해서 말이 된다. 완전한 일반성에서, exterior algebra는 commutative ring에 대한 modules를 위해 정의될 수 있고, abstract algebra에서 흥미있는 다른 구조를 위해서 정의될 수 있다. 그것은 이러한 좀 더 일반적인 constructions중의 하나인데, 거기에서 exterior algebra는 가장 중요한 적용 중 하나를 찾게 된다. 거기에서 그것은 미분 기하학을 사용하는 분야에서 기본이 되는 미분 형태의 대수로서 나타나게 된다. 미분 형태(Differential lforms)는 infinitesimal parallelograms의 infinitesimal areas를 나타내는 수학적 오브젝트이고 (그리고 더 높은 차원의 bodies), 그리고 그래서 표면과 더 높은 차원의 manifolds에 대해 적분의 line integrals를 일반화하는 방식으로 통합될 수 있다. exterio algebra는 또한 대수 그 자체에서 편리한 도구가 되는 많은 대수적 특성을 갖는다. exterior algebra의 vector pace에 대한 연관성은 vector spaces에 대한 functor의 유형인데, 그것은 vector 공간의 선형 변환과 어떤 방식으로 호환이 가능하다는 것을 의미한다. exterior algebra는 bialgebra의 한 예시인데, 그것의 dual space가 또한 한 product를 소유하고, 이 dual product가 exterior product와 호환가능하다는 것을 의미한다. 이 dual algebra는 정확히 alternating multilinear forms의 대수이고, 그 exterior algebra와 그것의 dual 사이의 pairing은 interior product에 의해서 주어진다.
Motivating examples
Areas in the plane
카르테시안 평면 R^2은 단위 벡터들의 한 쌍으로 구성된 한 기저를 갖춘 vector space이다
e1 = [ 1 0 ],
e2 = [ 0 1 ]
다음이라고 가정하자
v = [a b] = ae1 + be2, w = [c d] = ce1 + de2
가 컴포넌트에 쓰여지듯이, R^2에서 주어진 벡터들의 한 쌍이다. v와 w를 그것의 sides의 두 개로서 가진 유일한 평행사변형이 있다. 이 평행사변형의 면적은 표준 행렬식으로 주어진다:
이제 v와 w의 exterior product를 다음으로 고려하자:
여기에서 첫 번째 단계는 exterior product에 대해 분배법칙을 사용한다. 그리고 그 마지막을 exterior product가 alternating한다는 사실을 사용한다. 특히 e2 Λ e1 = -(e1 Λ e2)이다. (exterior product가 alternating이라는 사실은 다음을 도출시킨다 e1 Λ e1 = e2 Λ e2 = 0.) 이 마지막 수식에서의 계수가 정확히 행렬 [v w]의 행려릭이라는 것에 주목해라. 이것이 양수이거나 음수일지 모른다는 사실은 v와 w가 그것들이 정의하는 평행사변형의 정점으로서 반시계 또는 시계방향일지도 모른다는 것을 의미하는 직관성을 갖는다. 그러한 면적은 평행사변형의 signed area(양의 넓이)라고 불려진다: signed area의 절대값은 ordinary area이고, 그 부호는 그것의 방향을 결정한다.
이 계수가 signed area라는 사실은 우연이 아니다. 사실, exterior product가 만약 누군가가 이 면적을 algebraic construct로서 자명하게 하려고 한다면 signed area와 관련이 있다는 것을 보는 것은 상대적으로 쉽다. 상세하게, 만약 A(v,w)가 벡터들의 쌍 v와 w가 두 개의 인접한 변을 형성하는 평행사변형의 signed area를 표기한다면, 그러면 A는 다음의 특성을 만족해야 한다:
- 어떤 실수 j와 k에 대해 A(jv, kw) = jkA(v,w) 이다. 그 변중 하나가 그 넓이를 같은 양으로 rescale하기 때문이다 (그리고 그 변들 중 하나의 방향을 반대로 하는 것은 그 평행사변형의 방향을 반대로 하게 된다).
- A(v, v) = 0. v에 의해 결정된 degenerate 평행사변형의 넓이는 (즉, line segment) 0이다.
- A(w, v) = -A(v,w). v와 w의 역할을 교환하는 것은 평행사변형의 방향을 바꾸기 때문이다.
- 어떤 실수 j에 대해 A(v + jw, w) = A(v, w) 이다. v에 w에 대한 배수를 더하는 것은 base와 평행사변형의 높이 어떠한 것에도 영향을 미치지 않고, 결과적으로 그것의 넓이를 보존하기 때문이다.
- A(e1, e2) = 1. 단위 사각형의 넓이는 1이다.
마지막 특성의 예외와 함께, 두 벡터에 대한 exterior product는 그 면적과 같은 특성을 만족한다. 어떤 의미에서, exterior product는 한 평행사변형의 넓이가 한 평행한 평면 (여기에서 변 e1과 e2를 가진 것)에서 어떤 "표준"의 선택된 평행사변형의 넓이와 비교되도록 하여 최종 특성을 일반화시킨다. 다시 말해서, 그 exterior product는 넓이에 대한 basis-independent formulation을 제공한다.
Cross and triple products
R^3에 있는 벡터들에 대해, exterior algebra는 cross product와 triple product에 밀접한 관계가 있다. 표준 기저 {e1, e2, e3}를 사용하여, 벡터들의 한쌍의 exterior product는
여기에서, {e1 Λ e2, e3 Λ e1, e2 Λ e3}는 삼차원 공간 Λ^2(R^3)에 대한 기저이다. 위의 계수들은 삼차원에서 벡터들의 cross products의 보통 정의에 있는 것들과 같다. 유일한 차이는 exterior product는 ordinary vector가 아니라, 대신에 2-vector이다.
세 번째 vector를 가져와서
세 개의 벡터들에 대한 exterior product는
여기에서
삼차원에서 cross product와 triple product 각각은 기하학적그리고 algebraic 해석을 인정한다. cross product u x v는 u와 v둘 다에 수직한 벡터로서 해석될 수 있고, 그것의 크기는 두 벡터에 의해 결정되는 평행사변형의 넓이와 같다. 그것은 또한 columns u와 v를 가진 행렬의 소행렬식으로 구성된 벡터로 해석될 수 있다. u,v,w의 triple product는 기하학적으로 (signed) volume이다. algebraically (대수적으로), 그것은 colum u,v,w를 가진 행렬의 행렬식이다. 삼차원에서 exterior product는 유사한 해석을 허용한다: 그것은 또한 방향이 있는 넓이와 부피로 식별될 수 있는데, 그것들은 관련된 두 개 또는 세 개의 벡터로 spanned 된다. 사실, 양으로 방향을 갖는 orthonormal basis의 존재에서, exterior product는 이러한 기하학적 개념을 더 높은 차원으로 일반화한다.
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그 다음의 내용은 너무 수학저깅여서 적용 분야만 열거한다.
Linear algebra
Leverrier's algorithm
Physics
Linear Geometry
Projective Geometry
Differential geometry
Representation theory
Superspace
Lie algebra homology
Homological algebra
====================================================
https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_algebra_relations
Vector algebra relations
아래의 관계들은 삼차원 Euclidean space에 있는 벡터들에게 적용된다. 모든 것은 아니지만 어떤 것들을 더 높은 차원의 벡터들로 확장된다. 특히, 두 개의 벡터들의 cross product는 모든 차원에서 이용가능하지 않다.
Magnitude
Magnitude
한 벡터 A의 크기는 피타고라스의 정리를 사용하여 세 개의 orthogonal 방향을 따라 그것의 세 개의 컴포넌트들에 의해 결정된다:
||A||^2 = A^2_1 + A^2_2 + A^2_3
그 크기는 또한 dot product를 사용하여 표현될 수 있다:
||A||^2 = A dot A
Inequalities
; Cauchy-Schwarz inequality in three dimensions
; triangle inequality in three dimensions
; reverse triangle inequality
Angles
두 벡터의 vector product와 scalar product는 그것들 사이의 각도를 정의한다, 가령 θ:
오른손 법칙을 만족시키기 위해. 양의 θ에 대해, vector B는 A로부터 시계 반대방향이다. 그리고 음의 θ에 대해, 그것은 시계방향이다.
여기에서 A x B 표기는 A와 B의 cross product를 나타낸다. Pythagorean trigonometric identity는 그러고나서 다음을 제공한다:
{
여기가 내가 가장 궁금했던 부분이였다. 위의 sinθ와 cosθ를 이용하여 내가 궁금한 것을 해결하는 것이다. 즉,
이런식이 되고, 분모를 곱해서 식을 간단하게 만들면,
이렇게 만들어지는 것이다. 따라서, 내가 궁금해 했던 식인
Cross(r1, n))2 == Dot(r1, r1) - rn1 * rn1
이것은 B가 n이고, n은 contact normal로 길이가 1이므로, 위와 같은 식을 도출 할 수 있게 된 것이다.
}
||A||^2 = A^2_1 + A^2_2 + A^2_3
그 크기는 또한 dot product를 사용하여 표현될 수 있다:
||A||^2 = A dot A
Inequalities
Angles
두 벡터의 vector product와 scalar product는 그것들 사이의 각도를 정의한다, 가령 θ:
오른손 법칙을 만족시키기 위해. 양의 θ에 대해, vector B는 A로부터 시계 반대방향이다. 그리고 음의 θ에 대해, 그것은 시계방향이다.
여기에서 A x B 표기는 A와 B의 cross product를 나타낸다. Pythagorean trigonometric identity는 그러고나서 다음을 제공한다:
{
여기가 내가 가장 궁금했던 부분이였다. 위의 sinθ와 cosθ를 이용하여 내가 궁금한 것을 해결하는 것이다. 즉,
이런식이 되고, 분모를 곱해서 식을 간단하게 만들면,
이렇게 만들어지는 것이다. 따라서, 내가 궁금해 했던 식인
Cross(r1, n))2 == Dot(r1, r1) - rn1 * rn1
이것은 B가 n이고, n은 contact normal로 길이가 1이므로, 위와 같은 식을 도출 할 수 있게 된 것이다.
}
만약 한 벡터 A = (A_x, A_y, A_z)가 x,y,z 축의 orthogonal set과 ɑ,β,𝛾의 각을 만든다면, 그러면:
그리고 β,𝛾에 대해서도 유사하다. 결과적으로:
i,j,k는 그 축 방향에 대한 단위 벡터들이다.
나머지는 생략....
그리고 β,𝛾에 대해서도 유사하다. 결과적으로:
i,j,k는 그 축 방향에 대한 단위 벡터들이다.
나머지는 생략....
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