chan blog: OpenGL Projection Matrix

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OpenGL Projection Matrix

Overview
컴퓨터 모니터는 2D 평면이다. OpenGL에 의해 렌더링 되는 3D 장면은 컴퓨터 스크린에 2D 이미지로서 사영되어야만 한다. GL_PROJECTION 행렬은 이 사영 변환(projection transformation)을 위해 사용된다. 처음에, 그것은 모든 정점 데이터를 eye coordinates에서 clip coordinates로 변환한다. 그러고나서, 이러한 clip coordinates는 또한 clip coordinates의 w component로 나누어 normalized device coordinate (NDC)로 변환된다.

그러므로, 우리는 clipping (frustum culling)과 NDC transformations 둘 다 GL_PROJECTION matrix에 통합되어있다는 것을 명심해야만 한다. 다음의 섹션은 6개의 파라미터들 left, right, bottom, top, near 그리고 far boundary values로부터 projection matrix를 어떻게 구성하는지를 묘사한다.

w_c로 나누기 전에, frustum culling(clipping)이 clip coordinates에서 수행된다는 것을 주목해라. 그 clip 좌표들 x_c, y_c, z_c는 w_c와 비교하여 테스트된다. 만약 어떤 clip coordinates가 -w_c보다 작거나 또는 w_c보다 더 크다면, 그러면 그 정점은 버려져야만 한다.

$-w_c < x_c,y_c,z_c< w_c$

그러고나서, OpenGL은 clipping이 발생하는 곳에서의 폴리곤의 edges를 재구성할 것이다.

Perspective Projection
perspective projection(원근 투영)에서, 길이가 줄여진 피라미드 frustum (eye coordinates)에 있는 한 3D 점은 한 정육면체 (NDC)로 사상된다; x 좌표의 범위는 [l,r] 에서 [-1,1]이고, y좌표의 범위는 [b,t] 에서 [-1, 1]이고, z좌표의 범위는 [n,f] -> [-1,1]이다.

eye coordinates가 오른손 좌표계로 정의된다는 것을 주목해라. 하지만, NDC는 왼손 좌표계를 사용한다. 즉, 원점에 있는 카메라는 eye space(view space)에서 -Z 축을 바라보고 있지만, NDC에서는 +Z축을 바라보고 있다. glFrustum()이 near과 far 거리의 양의 값만을 받기 때문에, 우리는 GL_PROJECTION 행렬을 구성하는 동안 그것들을 음수화 할 필요가 있다.

OpenGL에서, eye space에 있는 한 3D 점은 near plane (projection plane)으로 사영된다. 다음의 다이어그램들은 어떻게 eye space에 있는 한 점 (x_e, y_e, z_e)가 near plane에 있는 (x_p, y_p, z_p)로 사영되는지를 보여준다.

frustum의 top view에서, eye space의 x좌표인 x_e는 x_p로 사영되고, 이것은 비슷한 삼각형의 비율을 사용하여 계산된다;
$\frac{x_p}{x_e} = \frac{-n}{z_e}$
$x_p = \frac{-n \cdot x_e}{z_e} = \frac{n \cdot x_e}{-z_e}$

frustum의 side view에서, y_p 또한 비슷한 방식으로 계산된다;
$\frac{y_p}{y_e} = \frac{-n}{z_e}$
$y_p = \frac{-n \cdot y_e}{z_e} = \frac{n \cdot y_e}{-z_e}$

x_p와 y_p가 모두 z_e에 의존한다는 것을 주목해라; 그것들은 -z_e이의 역수에 비례한다. 다른 말로 하면, 그것들 둘 다 -z_e로 나눠진다. 그것이 GL_PROJECTION matrix를 구성하는 첫 번째 단서이다. eye coordinates가 GL_PROJECTION 행렬을 곱하여 변환된 후에, clip coordinates는 여전히 동차 좌표들이다. 그것은 clip coordinates의 w-component로 나누어 normalized device coordinates(NDC)가 된다. (OpenGL Transformation에서 좀 더 세부사항을 보아라)

$\begin{pmatrix} x_{clip}\\ y_{clip}\\ z_{clip}\\ w_{clip} \end{pmatrix} = M_{projection} \cdot \begin{pmatrix} x_{eye}\\ y_{eye}\\ z_{eye}\\ w_{eye} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x_{ndc}\\ y_{ndc}\\ z_{ndc} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{clip} / w_{clip}\\ y_{eye} / w_{clip}\\ z_{eye} / w_{clip} \end{pmatrix}$

그러므로, 우리는 clip coordinates의 w-component를 -z_e로 설정할 수 있다. 그래서, GL_PROJECTION 행렬의 4번째 행은 (0,0,-1,0)이 된다.

$\begin{pmatrix} x_c\\ y_c\\ z_c\\ w_c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} . & . & .& .\\ . & . & .& .\\ . & . & .& .\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_e \\ y_e \\ z_e \\ w_e \\ \end{pmatrix} \therefore w_c = -z_e$

다음으로, 우리는 x_p와 y_p를 선형관계를 가진 NDC의 x_n과 y_n으로 사상시킨다; [l,r] =>[-1,1] and [b,t] => [-1,1].

$x_n = \frac{2x_p}{r-l} - \frac{r +l}{r-l}$
$y_n = \frac{2y_p}{t-b} - \frac{t +b}{t-b}$

그러고나서, 우리는 x_p와 y_p를 위의 방정식으로 치환한다.

$x_n = (\frac{2n}{r-l} \cdot x_e + \frac{r +l}{r-l} \cdot z_e) / -z_e$
$y_n = (\frac{2n}{t-b} \cdot y_e + \frac{t +b}{t-b} \cdot z_e) / -z_e$

우리가 각 방정식의 두 항이 perspective division (x_c_w_c, y_c/w_c)를 위해 나눠질 수 있도록 한 것을 주목해라. 그래서 우리는 w_c를 -z_e로 일찍 설정하고, 괄호안의 항들은 clip coordinates의 x_c와 y_c가 된다.

이러한 방정식들로부터 우리는 GL_PROJECTION matrix의 첫 번째와 두 번째 행을 알 수 있다.

$\begin{pmatrix} x_c\\ y_c\\ z_c\\ w_c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l}& 0\\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b}& 0\\ . & . & .& .\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_e \\ y_e \\ z_e \\ w_e \\ \end{pmatrix}$

이제 우리는 오직 GL_PROJECTION MATRIX만 풀면된다. z_n을 아는 것은 다른 것들과 조금 다르다. 왜냐하면 eye space에 있는 z_e는 항상 near plane에서 -n에 사영되기 때문이다. 그러나 우리는 clipping과 depth test를 위해 unique z value가 필요하다. 더해서, 우리는 그것을 unproject(inverse transform) 할 수 있어야 한다. 우리가 z가 x 또는 y값에 의존하지 않는 것을 알기 때문에, 우리는 z_n과 z_e 사이의 곤계를 찾기 위해 w_component를 가져온다. 그러므로, 우리는 GL_PROJECTION 행렬을 이렇게 명시할 수 있다.

$\begin{pmatrix} x_c\\ y_c\\ z_c\\ w_c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l}& 0\\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b}& 0\\ 0 & 0 & A& B\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_e \\ y_e \\ z_e \\ w_e \\ \end{pmatrix} , \;\;\; z_n = z_c/w_c = \frac{Az_e + Bw_e}{-z_e}$

eye space에서, w_e는 1과 같다. 그러므로, 그 방정식은 이렇게 된다.

$z_n = \frac{Az_e + B}{-z_e}$

A와 B 계수를 찾기 위해서, 우리는 (z_e, z_n) 관계를 사용한다; (-n, -1)과 (-f, 1), 그리고 그것들을 위의 방정식에 넣는다.

$\frac{-An + B}{n} = -1$
$\frac{-Af + B}{f} = 1$
$\therefore \left\{\begin{matrix} -An + B = -n \\ -Af + B = f \end{matrix}\right.$

A와 B에 대해 방정식을 풀기 위해서, ... (소거법 실행)

$A = -\frac{f+n}{f-n}$
$B = -\frac{2fn}{f-n}$

우리는 A와 B를 찾았다. 그러므로, z_e와 z_n 사이의 관계는 다음과 같다.

$z_n = \frac{-\frac{f+n}{f-n}z_e - \frac{2fn}{f-n}}{-z_e}$

마침내, 우리는 GL_PROJECTION 행렬의 모든 요소들을 찾았다. 그 복잡한 projection matrix는 다음과 같다.

$\begin{pmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l}& 0\\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b}& 0\\ 0 & 0 & \frac{-(f+n)}{f-n}& \frac{-2fn}{f-n}\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

이 projection matrix는 일반적인 frustum에 대한 것이다. 만약 viewing volume이 대칭이라면, r = -l 그리고 t = -b가 되고, 그것은 다음과 같이 간단하게 된다;

$\left\{\begin{matrix} r + l = 0\\ r - l = 2r \;\;\;\;\;(width) \end{matrix}\right. , \left\{\begin{matrix} t + b = 0\\ t - b = 2t \;\;\;\;\;(height) \end{matrix}\right.$
$\begin{pmatrix} \frac{n}{r} & 0 & 0& 0\\ 0 & \frac{n}{t} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{-(f+n)}{f-n}& \frac{-2fn}{f-n}\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

우리가 지나가기 전에, z_e와 z_n 사이의 관계의 방정식을 봐보자. 너는 그것이 유리 함수이고 z_e와 z_n사이가 비선형 관계라는 것을 알 수 있다. 이것은 near plane에서는 매우 높은 정밀도가 있지만, far plane에서 매우 낮은 정밀도가 있다는 것을 의미한다. 만약 [-n, -f]의 범위가 더 커진다면, 그것은 depth precision problem(z-fighting)을 야기시킨다; far plane 주변에서 z_e의 작은 변화가 z_n의 값에 영향을 미치지 않는다. n과 f 사이의 거리는 depth buffer precision 문제를 최소하기 위해 가능한한 짧아야만 한다.

Orthographic projection
orthographic projection을 위한 GL_PROJECTION을 구성하는 것은 perspective mode보다 더욱 간단하다.

모든 eye space에 있는 x_e, y_e, z_e가 NDC에 선형으로 사상된다. 우리는 그냥 한 rectangular cube를 정육면체로 스케일 할 필요가 있고, 그러고나서 그것을 원점으로 옮긴다. 선형 관계를 이용하여 GL_PROJECTION의 원소들을 찾아보자.

$x_n = \frac{2}{r-l} \cdot x_e - \frac{r+l}{r-l}$
$y_n = \frac{2}{t-b} \cdot y_e - \frac{t+b}{t-b}$
$z_n = \frac{-2}{f-n} \cdot z_e - \frac{f+n}{f-n}$

w-component가 orthographic projection에 필요하지 않기 때문에, GL_PROJECTION matrix는 (0,0,0,1)로 남게 된다. 그러므로, orthographic projection을 위한 완전하 GL_PROJECTION matrix는,

$\begin{pmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0& -\frac{r+l}{r-l}\\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & -\frac{t+b}{t-b}\\ 0 & 0 & \frac{-2}{f-n}& -\frac{f+n}{f-n}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

만약 viewing volume이 대칭이라면, 그것은 더 간단하게 될 수 있다. r = -l 그리고 t = -b이니.

$\left\{\begin{matrix} r+l = 0 \\ r- l = 2r (width) \end{matrix}\right , \left\{\begin{matrix} t+b = 0 \\ t- b = 2t (height) \end{matrix}\right$

$\begin{pmatrix} \frac{1}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-2}{f-n} & -\frac{f+n}{f-n} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

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2018년 7월 25일 수요일

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